Transformationsschätzung

Der zweite Schritt des ICP-Algorithmus bestimmt bei gegebenen Punktpaaren eine Transformation, die die Fehlerfunktion $E(\MR,\mathbf{t})$ (3.7) minimiert. Dieser Vorgang lässt sich mit Hilfe der folgenden physikalischen Analogie veranschaulichen: Man stelle sich vor, dass zwischen den Punktpaaren - wie in Abbildung 3.2 rot dargestellt - Federn gespannt sind. Wird dieses dynamische System sich selbst überlassen, ziehen die Federn den zweiten Scan (bei geeigneter Dämpfung) in eine Position, die ein Minimum an potenzieller Energie aufweist [54]. Die Rotation und Translation, die zu diesem Energieminimum führen, entsprechen denjenigen, die die Fehlerfunktion $E(\MR,\mathbf{t})$ (3.7) minimieren.

Um das Minimum von $E(\MR,\mathbf{t})$ zu finden, existieren verschiedene Strategien, die sich in direkte und indirekte Verfahren einteilen lassen. Zu den indirekten Verfahren zählt beispielsweise die Simulation des oben beschriebenen physikalischen Systems [19,72]. Auch informierte Suchverfahren (z.B. Gradientenabstieg oder simuliertes Abkühlen) werden verwendet [11]. Diesen Verfahren stehen Methoden gegenüber, die die Transformation analytisch direkt aus den Punktpaaren berechnen. Vier Verfahren zur direkten Transformationsbestimmung sind zurzeit in Verwendung [51]:

• Die Transformationsschätzung mittels der Singulärwertzerlegung einer Matrix,
  
• Die Transformationsschätzung mit Hilfe von Orthogonal-Matrizen,
  
• Die Transformationsschätzung unter Verwendung des Einheitsquaternions,
  
• Die Transformationsschätzung mit Dualzahl-Quaternion.

Lorusso et. al. haben diese Verfahren untersucht und miteinander verglichen [51]. Sie sind alle in etwa gleich schnell ($\O$(Anzahl der Punktpaare), mit ähnlichen Konstanten), besitzen ähnliche Genauigkeiten (die Rechnergenauigkeit) und Stabilitäten gegenüber verrauschten Daten. Die implementierte Transformationsschätzung verwendet die Methode des Einheitsquaternions.