Berechnung der Rotationsmatrix aus dem Einheitsquaternion

Jedes Quaternion kann durch eine $4 \times 4$ Matrix repräsentiert werden. Sei das Quaternion $\dot q = q_0 + \mathbf{q}\cdot \boldsymbol{\mathfrak{i}}$ mit $\mathbf{q}= (q_x, q_y, q_z)^T$, dann wird eine Matrix $\mathbf{Q}$ wie folgt definiert:

$$\mathbf{Q}= \left( \begin{array}{cccc} q_0 & -q_x & -q_y & -q... ...hbbm{1}_{3 \times 3} + \mathbf{C}_\mathbf{q} \end{array}\right)$$ (7.7)

mit

$$\mathbf{C}_\mathbf{q}= \left( \begin{array}{ccc} 0 & -q_z & q_y \\ q_z & 0 & -q_x \\ -q_y & q_x & 0 \\ \end{array}\right).$$

Die Schreibweise eines Quaternions als Matrix stellt eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der Quaternionen und der Menge der $4 \times 4$ Matrizen der Form (A.7) dar. Wie folgender Satz zeigt, entspricht die Multiplikation von Matrizen der Form (A.7) jener von Quaternionen.

Satz 5   Seien $\dot q_1 = q_{10} + \mathbf{q}_1 \cdot \boldsymbol{\mathfrak{i}}$ und $\dot q_2 = q_{20} + \mathbf{q}_2 \cdot \boldsymbol{\mathfrak{i}}$ zwei Quaternionen und $\mathbf{Q}_1$ und $\mathbf{Q}_2$ die zugehörigen Matrix-Darstellungen. Wenn $\dot q_1 \dot q_2 = q_0 + \mathbf{q} \cdot \boldsymbol{\mathfrak{i}}$ ist, dann gilt:

$$\mathbf{Q}_1 \mathbf{Q}_2 = \left( \begin{array}{cc} q_0 & - ... ...bbm{1}_{3 \times 3} + \mathbf{C}_\mathbf{q} \end{array}\right).$$

Beweis:Bezeichne $\mathbbm{1}$ die $4 \times 4$ Einheitsmatrix. Damit gilt:

$$\mathbf{Q}_1 = q_{10} \mathbbm{1} + \left( \begin{array}{cc} ... ...\\ \mathbf{q}_2 & \mathbf{C}_{\mathbf{q}_2} \end{array}\right)$$

$$\mathbf{Q}_1\mathbf{Q}_2 = q_{10}q_{20} \mathbbm{1} + q_{10} \left( \begin{array}{cc} 0 ... ...\\ \mathbf{q}_1 & \mathbf{C}_{\mathbf{q}_1} \end{array}\right)$$

$$+ \underbrace{ \left( \begin{array}{cc} 0 & -\mathbf{q}_1^T \... ...hbf{C}_{\mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2} \end{array}\right). }$$

Es folgt:

$$\mathbf{Q}_1\mathbf{Q}_2 = (q_{10}q_{20} - \mathbf{q}_1 \cdot \mathbf{q}_2)\mathbbm{1}$$

$$+ \left( \begin{array}{cc} 0 & - (q_{10} \mathbf{q}_2 + q_{20... ...bf{q}_1 + \mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2} \end{array}\right).$$

$\Box$

Sei $\mathbf{Q}$ die Matrix-Darstellung des Quaternions $\dot q = q_{0} + \mathbf{q} \cdot \boldsymbol{\mathfrak{i}}$. Aus der Definition der Matrix-Darstellung wird ersichtlich, dass die Matrix-Repräsentation von $\dot q^*$ gerade die transponierte Matrix $\mathbf{Q}^T$ ist. Interessant ist die folgende Beziehung:

$$\mathbf{Q}\mathbf{Q}^T = (q_0^2 + \left\lvert\left\lvert \mathbf{... ...1} = \left\lvert\left\lvert \mathbf{q} \right\rvert\right\rvert ^2 \mathbbm{1}.$$

Aus diesem Grund ist die Matrix $\mathbf{Q}$ immer orthogonal, wenn $\mathbf{q}\neq 0$ ist. Speziell für ein Einheitsquaternion gilt folgender Satz:

Satz 6   Für ein Einheitsquaternion $\dot q = q_{0} + \mathbf{q} \cdot \boldsymbol{\mathfrak{i}}$ ist die zugehörige Matrix $\mathbf{Q}$ eine $4 \times 4$ Rotationsmatrix, d.h. es gilt:

$$\mathbf{Q}\mathbf{Q}^T = \mathbbm{1} \qquad \det(\mathbf{Q}) = 1.$$

Beweis:Für ein Einheitsquaternion gilt: $q_0^2 + \left\lvert\left\lvert \mathbf{q} \right\rvert\right\rvert ^2 = 1$. Nach (A.7) ist

$$\mathbf{Q}= \left( \begin{array}{cc} q_0 & - \mathbf{q}^T \\ ... ...hbbm{1}_{3 \times 3} - \mathbf{C}_\mathbf{q} \end{array}\right)$$

und somit

$$\mathbf{Q}\mathbf{Q}^T = \left( \begin{array}{cc} q_0^2 + \le... ... \mathbf{C}_\mathbf{q}\mathbf{C}_\mathbf{q} \end{array}\right).$$

Wegen $\mathbf{C}_\mathbf{q}\mathbf{C}_\mathbf{q}= \mathbf{q}\mathbf{q}^T - \left\lvert\left\lvert \mathbf{q} \right\rvert\right\rvert ^2\mathbbm{1}$ ergibt sich:

$$\mathbf{Q}\mathbf{Q}^T = \left( \begin{array}{cc} q_0^2 + \le... ...\left\lvert \mathbf{q} \right\rvert\right\rvert ^2)\mathbbm{1}.$$

Der zweite Teil des Satzes wird mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes [21] bewiesen:

$$\det(\mathbf{Q}) = \det \left( \begin{array}{cccc} q_0 & -q_x & -q_y & -q_z \\ ... ... q_z & q_0 & -q_x \\ q_z & -q_y & q_x & q_0 \end{array}\right)$$

$$\det(\mathbf{Q}) = q_0 \, \det \left( \begin{array}{ccc} q_0 & -q_z & q_y \\ q_... ...q_y \\ q_y & q_0 & -q_x \\ q_z & q_x & q_0 \end{array}\right)$$

$$-q_y \, \det \left( \begin{array}{cccc} q_x & -q_0 & -q_y \\ ... ...q_z \\ q_y & q_z & q_0 \\ q_z & -q_y & q_x \end{array}\right)$$

$$= q_0^4 + q_0^2(q_x^2+q_y^2+q_z^2) + q_x^4 + q_x^2(q_0^2+q_y^2+q_z^2)$$

$$+ q_y^4 + q_y^2(q_0^2+q_x^2+q_z^2) + q_z^4 + q_z^2(q_0^2+q_x^2+q_y^2)$$

$$= q_0^4 + q_0^2(1-q_0^2) + q_x^4 + q_x^2(1-q_x^2) + q_y^4 + q_y^2(1-q_y^2) + q_z^4 + q_z^2(1-q_z^2)$$

$$= q_0^2 + q_x^2 + q_y^2 + q_z^2$$

$$= 1.$$

$\Box$

Definiert man für ein Quaternion $\dot q = q_{0} + \mathbf{q} \cdot \boldsymbol{\mathfrak{i}}$ die Matrix

$$\bar \mathbf{Q}= \left( \begin{array}{cc} q_0 & - \mathbf{q}^... ...bbm{1}_{3 \times 3} - \mathbf{C}_\mathbf{q} \end{array}\right),$$ (7.8)

erhält man ähnliche Eigenschaften wie für $\mathbf{Q}$ aus Definition (A.7). Wenn $\dot q$ ein Einheitsquaternion ist, dann stellt auch $\bar \mathbf{Q}$ eine Rotationsmatrix im 4-dimensionalen Raum dar und es gilt

$$\bar \mathbf{Q}\bar\mathbf{Q}^T = \mathbbm{1} \qquad \det(\bar \mathbf{Q}) = 1.$$