Herleitung der Formel für die Rotationsmatrix.

Für ein Einheitsquaternion $\dot q = q_{0} + \mathbf{q} \cdot \boldsymbol{\mathfrak{i}}$ sind $\mathbf{Q}$ und $\bar \mathbf{Q}$ wie in (A.7), (A.8) definiert. Außerdem handelt es sich um Rotationsmatrizen, weshalb auch $\bar \mathbf{Q}^T \mathbf{Q}$ eine Rotationsmatrix ist. Sie hat folgende Form:

$$\bar \mathbf{Q}^T \mathbf{Q} = \left( \begin{array}{cc} q_0 & \mathbf{q}^T \\ -\mathbf{q}& ... ...hbbm{1}_{3 \times 3} + \mathbf{C}_\mathbf{q} \end{array}\right)$$

$$= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \mathbf{q}\mathbf{q}^T... ... \mathbf{C}_\mathbf{q}\mathbf{C}_\mathbf{q} \end{array}\right).$$

Wie man sieht, muss die $3 \times 3$ Matrix $\mathbf{q}\mathbf{q}^T + q_0^2 \mathbbm{1}_{3 \times 3} + \mathbf{C}_\mathbf{q}\mathbf{C}_\mathbf{q}$ auch eine Rotationsmatrix sein. Somit entspricht jedes Einheitsquaternion genau einer Rotationsmatrix in $\mathbbm{R}^3$. Diese Matrix hat die folgende Form:

$$\MR= \left( \begin{array}{ccc} (q_0^2 + q_x^2 - q_y^2 - q_z^2... ...+ q_xq_0) & (q_0^2 - q_x^2 - q_y^2 + q_z^2) \end{array}\right).$$

Die Matrixdarstellung $\mathbf{Q}$ eines Quaternions erlaubt eine effiziente Schreibweise der Multiplikation. Das Produkt zweier Quaternionen lässt sich als Matrix-Vektor-Produkt schreiben, wenn mit einem Quaternion $\dot q = q_0 + \mathfrak{i}q_x + \mathfrak{j}q_y + \mathfrak{k}q_z = q_0 + \mathbf{q}\cdot \boldsymbol{\mathfrak{i}}$ der Spaltenvektor $(q_0,q_x,q_y,q_z)^T$ assoziiert wird. Damit ergeben sich $\dot q_1$ und $\dot q_2$ als

$$\mathbf{Q}_1 \dot q_2 := \left(\left( \begin{array}{cccc} q_{10} & -q_{1x} & -q_{1y} &... ... \mathfrak{i}\\ \mathfrak{j}\\ \mathfrak{k}\end{array}\right)$$ (7.9)

$$= q_{10}q_{20} - q_{1x}q_{2x} - q_{1y}q_{2y} - q_{1z}q_{2z}$$

$$+ (q_{10}q_{2x} + q_{1x}q_{20} + q_{1y}q_{2z} - q_{1z}q_{2y})\mathfrak{i}$$

$$+ (q_{10}q_{2y} - q_{1x}q_{2z} + q_{1y}q_{20} + q_{1z}q_{2x})\mathfrak{j}$$

$$+ (q_{10}q_{2z} + q_{1x}q_{2y} - q_{1y}q_{2x} + q_{1z}q_{20})\mathfrak{k}$$

$$= \dot q_1 \dot q_2.$$

Analog gilt:

$$\bar \mathbf{Q}_1 \dot q_2 = \ \ldots \ = \dot q_2 \dot q_1.$$ (7.10)

Ein Vektor $\mathbf{v}= (v_x,v_y,v_z)^T \in \mathbbm{R}^3$ wird durch ein Quaternion dargestellt, das ausschließlich aus einem imaginären Teil besteht, d.h. $\dot v = 0 + \mathbf{v}\cdot \boldsymbol{\mathfrak{i}}= (0,v_x,v_y,v_z)^T \cdot \boldsymbol{\mathfrak{i}}$. Dadurch ist es möglich, eine Rotation durch das Hintereinanderschalten von Multiplikationen der Quaternionen auszudrücken:

$$\mathbf{v}_{rot} = (\bar \mathbf{Q}^T\mathbf{Q}) \left( \begi... ...ft(\mathbf{Q} \dot v \right) \dot q^* = \dot q \dot v \dot q^*.$$ (7.11)

Im nun anschließenden Abschnitt wird nachgewiesen, dass das Einheitsquaternion $\dot q = q_{0} + \mathbf{q} \cdot \boldsymbol{\mathfrak{i}}$ mit $q_0 = \cos \frac{\theta}{2}$ und $\mathbf{q}= \mathbf{n}\sin \frac{\theta}{2}$ tatsächlich eine Rotation um den Winkel $\theta$ um den Einheitsvektor $\mathbf{n}$ darstellt (vgl. Abbildung 3.1).