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Berechnung des Einheitsquaternion

Ein Vektor $ \mathbf{v}= (v_x,v_y,v_z)^T \in \mathbbm{R}^3$ soll um einen Vektor $ \mathbf{n}$ um den Winkel $ \theta$ gedreht werden. Diese Drehung wird durch das Einheitsquaternion $ \dot q = q_{0} + \mathbf{q}
\cdot \boldsymbol{\mathfrak{i}}$ mit $ q_0 = \cos
\frac{\theta}{2}$ und $ \mathbf{q}= \mathbf{n}\sin \frac{\theta}{2}$ beschrieben. Eine Möglichkeit, den gesuchten Punkt $ \mathbf{v}_{rot}$ zu errechnen, ist die im vorigen Abschnitt vorgestellte Methode, das Quaternion $ \dot v$ des Vektors $ \mathbf{v}$ mit $ \dot q $ und $ \dot q^*$ zu multiplizieren (vgl. (A.11)):

$\displaystyle \mathbf{v}_{rot}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dot q \dot v \dot q^*$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\cos\frac{\theta}{2}, \mathbf{n}\sin\frac{\theta}{2}\right)...
...bf{v}\right)
\left(\cos\frac{\theta}{2}, -\mathbf{n}\sin\frac{\theta}{2}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\left(\cos\frac{\theta}{2}, \mathbf{n}\sin\frac{\theta}{2}\...
...ght)\right)
\left(\cos\frac{\theta}{2}, -\mathbf{n}\sin\frac{\theta}{2}\right).$  

Daraufhin wird die Quaternionmultiplikation (vgl. (A.4)) angewendet und es ergibt sich:
$\displaystyle \mathbf{v}_{rot}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(-\sin\frac{\theta}{2}(\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}), \cos\fra...
...f{n})\right)
\left(\cos\frac{\theta}{2}, -\mathbf{n}\sin\frac{\theta}{2}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(
-\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}(\mathbf{n}\cdot ...
...
-\sin^2\frac{\theta}{2}(\mathbf{n}\times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{n}, \right.$  
    $\displaystyle \sin^2\frac{\theta}{2}(\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}) \mathbf{n}
+\c...
...hbf{v})
- \sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}(\mathbf{v}\times \mathbf{n})$  
    $\displaystyle \left.
- \sin^2\frac{\theta}{2}(\mathbf{n}\times \mathbf{v}) \times \mathbf{n}
\right).$ (7.12)

Benutzt man nun einige Fakten über Vektoren (dass $ \mathbf{n}\cdot \mathbf{v}=
\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}$, $ \mathbf{n}\times \mathbf{v}= - \mathbf{v}\times \mathbf{n}$ und $ (\mathbf{n}\times
\mathbf{v}) \cdot \mathbf{n}= 0$ ist) und bezieht die folgenden trigonometrischen Identitäten mit ein:
$\displaystyle \cos \theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2\frac{\theta}{2}$  
$\displaystyle \sin \theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$  
$\displaystyle \cos \theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - 2 \sin^2\frac{\theta}{2},$  

so ergibt sich für (A.12):
$\displaystyle \mathbf{v}_{rot}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(
0,
\sin^2\frac{\theta}{2}(\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}) \mat...
...n^2\frac{\theta}{2}(\mathbf{v}- (\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}) \mathbf{n}
\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(
0,
2 \sin^2\frac{\theta}{2}(\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}) \m...
... \sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}( \mathbf{n}\times \mathbf{v})
\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(
0,
(1 - \cos\theta)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{v})\mathbf{n}
+ \cos \theta \mathbf{v}+ \sin \theta (\mathbf{n}\times \mathbf{v})
\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(
0,
(\mathbf{n}\cdot \mathbf{v})\mathbf{n}
+ \cos \theta (\...
...ot \mathbf{v}) \mathbf{n}) + \sin \theta (\mathbf{n}\times \mathbf{v})
\right).$ (7.13)

Die Formel (A.13) wird nun durch eine grafische Herleitung bewiesen. Die linke Seite der Abbildung A.1 zeigt einen Vektor $ \mathbf{v}$, der um den Winkel $ \theta$ rotiert wird. Es sei $ \mathbf{n}$ ein Einheitsvektor. Die Vektoren $ \mathbf{n}$ und $ \mathbf{v}$ spannen eine Ebene auf. Auf dieser Ebene liegen die Vektoren $ \mathbf{v}_1 = (\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}) \mathbf{n}$ und $ \mathbf{v}_2 = \mathbf{v}- (\mathbf{n}\cdot \mathbf{v})
\mathbf{n}$. Der Vektor $ \mathbf{v}_3$ steht senkrecht zu dieser Ebene und hat die gleiche Länge wie Vektor $ \mathbf{v}_2$. Der Vektor lässt sich berechnen durch $ \mathbf{v}_3 = \mathbf{n}\times \mathbf{v}_2 = \mathbf{n}\times \mathbf{v}$, da $ \mathbf{n}$ ein Einheitsvektor ist und $ \mathbf{v}_2 \bot \mathbf{n}$ ist.

Abbildung: Grafische Herleitung des rotierten Vektors $ \mathbf{v}_{rot}$
\includegraphics{pictures/quatrot1} \includegraphics{pictures/quatrot2}

Damit lässt sich der Vektor $ \mathbf{v}_{rot}$ schreiben als

$\displaystyle \mathbf{v}_{rot}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathbf{v}_1 + \cos \theta \mathbf{v}_2 + \sin \theta \mathbf{v}_3$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}) \mathbf{n}+ \cos \theta (\mathbf{v}-...
...bf{n}\cdot \mathbf{v}) \mathbf{n})
+ \sin \theta (\mathbf{n}\times \mathbf{v}).$ (7.14)

Wie man nun sieht entspricht die Formel (A.14) genau dem Quaternion $ \dot v$ (A.13). Dies zeigt, dass die angegebene Beschreibung der Rotation mittels des Einheitsquaternions (3.2),(3.3),(3.4),(3.5) tatsächlich eine Rotation um einen gegeben Vektor darstellt.


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Andreas Nüchter
2002-07-10