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Rotationsbestimmung

Die neue Fehlerfunktion (A.18) muss nun minimiert werden. Da eine Rotation längenerhaltend ist, gilt immer $ \lvert\lvert\MR\mathbf{d}'_j\lvert\lvert^2 = \lvert\lvert \mathbf{d}'_j\lvert
\lvert^2$. Mit Hilfe dieser Eigenschaft wird die Fehlerfunktion erweitert zu

$\displaystyle E(\MR, \mathbf{t}) =
\sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j}\left...
...}^{N_d}w_{i,j}\left\lvert\left\lvert \mathbf{d}'_j \right\rvert\right\rvert ^2.$      

Wie man leicht sieht, geht die Rotation nur in den mittleren Term ein. Um die obige Gleichung zu minimieren, genügt es also, den Ausdruck
$\displaystyle \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j}\mathbf{m}'_{i} \cdot \MR\mathbf{d}'_j$     (7.19)

zu maximieren. An dieser Stelle der Herleitung kommen die Quaternionen zum Einsatz. Die Bestimmung der Rotationsmatrix $ \MR$, die (A.19) maximiert, kann aufgefasst werden als das Finden des Einheitsquaternions $ \dot q $, das den Ausdruck
$\displaystyle \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} \dot m'_i \cdot (\dot q \...
..._{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} (\dot q \dot m'_i) \cdot (\dot d'_j \dot q)$      

maximiert. Dabei wurde die Rechenregel (A.6) angewendet. Seien nun $ \mathbf{M}_i$ und $ \bar \mathbf{D}_j$ die Matrizen zu den Quaternionen $ \dot m'_i$ und $ \dot d_j$ analog zu (A.7) und (A.8). Nach (A.9), (A.10) und (A.11) wird die zu maximierende Summe
$\displaystyle \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} (\bar \mathbf{M}_i \dot q) \cdot (\mathbf{D}_j \dot q)$      

bzw.
$\displaystyle \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} \dot q ^T \bar \mathbf{M}...
...}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} \bar \mathbf{M}_i \mathbf{D}_j^T \right) \dot q.$      

Schreibt man nun die Matrizen für $ \mathbf{M}_i$ und $ \mathbf{D}_j$, ergibt eine Rechnung:
    $\displaystyle \dot q ^T \left( \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} \bar \mathbf{M}_i \mathbf{D}_j^T \right) \dot q$  
  $\displaystyle =$ \begin{displaymath}\dot q ^T \left( \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j}
\lef...
...{jz} & -d_{jy} & d_{jx} & 0
\end{array}\right)^T
\right) \dot q\end{displaymath}  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dot q ^T \mathbf{N}\dot q.$ (7.20)

Die in Kapitel 3.3.3 (vgl. (3.16)) definierte Matrix $ \mathbf{N}$ entsteht bei der Multiplikation. Folgender Satz zeigt, wie das Einheitsquaternion, das (A.7) maximiert, bestimmt wird:

Satz 7   Das Einheitsquaternion $ \dot q $ (es gilt $ \dot q \cdot \dot q = 1$), das den Term $ \dot q ^T \mathbf{N}\dot q$ (A.20) maximiert, ist der Eigenvektor zu dem größten positiven Eigenwert der Matrix $ \mathbf{N}$ [40].

Beweis:Die symmetrische Matrix $ \mathbf{N}$ ist eine $ 4 \times 4$ Matrix. Das bedeutet, dass $ \mathbf{N}$ vier Eigenwerte besitzt ( $ \lambda_1, \lambda_2,
\lambda_3, \lambda_4$). Zu diesen Eigenwerten können vier Eigenvektoren ( $ \dot e_1, \dot e_2, \dot e_3, \dot e_4$) konstruiert werden, so dass gilt
$\displaystyle \mathbf{N}\dot e_i = \lambda_i \dot e_i$   für$\displaystyle \quad i = 1,2,3,4.$      

Die Eigenvektoren spannen einen vier-dimensionalen Vektorraum auf (sie sind linear unabhängig); also kann ein beliebiges Quaternion $ \dot q $ als Linearkombination
$\displaystyle \dot q = \alpha_1 \dot e_1 + \alpha_2 \dot e_2 + \alpha_3 \dot e_3 + \alpha_3 \dot e_3$      

dargestellt werden. Da Eigenvektoren orthogonal sind, gilt:
$\displaystyle \dot q \cdot \dot q = \alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 + \alpha_3^2.$      

Dies muss gleich 1 sein, da nach einem Einheitsquaternion $ \dot q $ gesucht wird. Weiterhin gilt
$\displaystyle \mathbf{N}\dot q = \alpha_1 \lambda_1 \dot e_1 + \alpha_2 \lambda_2 \dot e_2
+ \alpha_3 \lambda_3 \dot e_3 + \alpha_4 \lambda_4 \dot e_4,$      

da $ \dot e_1, \dot e_2, \dot e_3, \dot e_4$ Eigenvektoren von $ \mathbf{N}$ sind. Daraus lässt sich schließen, dass
$\displaystyle \dot q ^T \mathbf{N}\dot q = \dot q \cdot \left( \mathbf{N}\dot q...
... \lambda_1 + \alpha_2^2 \lambda_2
+ \alpha_3^2 \lambda_3 + \alpha_4^2 \lambda_4$      

gilt. Angenommen die Eigenwerte seien der Größe nach sortiert, d.h. $ \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \lambda_3 \geq \lambda_4$. Dann folgt daraus die Ungleichung
$\displaystyle \dot q ^T \mathbf{N}\dot q
\leq \alpha_1^2 \lambda_1 + \alpha_2^2 \lambda_1 + \alpha_3^2 \lambda_1
+ \alpha_4^2 \lambda_1 = \lambda_1$      

und es ist gezeigt, dass die quadratische Form niemals größer als der größte Eigenwert sein kann. Bei der Wahl von $ \alpha_1 = 1$ und $ \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha_4 = 0$ wird das Maximum erreicht und das gesuchte Einheitsquaternion ist $ \dot q = \dot e_1$ [40].$ \Box$


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Andreas Nüchter
2002-07-10